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Matemática 51

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MATEMÁTICA 51 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 5 - Derivadas

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9. Hallar el dominio, los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, los extremos locales y el valor de la función en los mismos. Determinar las asíntotas verticales y horizontales. Hacer un gráfico aproximado de $f$.
a) $f(x)=\frac{x^{2}}{x-1}$

Respuesta

Resolvemos tal como vimos en el video de estudio de funciones usando la derivada del curso.

1. Calculemos el dominio de la función
 
\( f(x) \) no está definida cuando el denominador es cero, porque tenemos una división con \( x \).
$ x - 1 = 0 $
$ \text{Dom}(f) = \mathbb{R} - \{1\} $

2. Hallamos la derivada de la función
$ f(x) = \frac{x^{2}}{x-1} $
$ f'(x) = \frac{(x^2)'(x - 1) - (x^2)(x - 1)'}{(x - 1)^2} $
$ f'(x) = \frac{2x(x - 1) - x^2 \cdot 1}{(x - 1)^2} $
$ f'(x) = \frac{2x^2 - 2x - x^2}{(x - 1)^2} $
$ f'(x) = \frac{x^2 - 2x}{(x - 1)^2} $
3. Buscamos los puntos críticos:
3.1. Buscamos los valores del dominio de \( f \) donde la derivada no está definida, comparando los dominios de ambas:
El \( \text{Dom}(f) = \text{Dom}(f') = \mathbb{R} - \{1\} \). No obtuvimos puntos críticos de acá.

3.2. Buscamos los valores donde la derivada se hace cero:
 
Igualamos la derivada a cero:
$ x^2 - 2x = 0 $
Factorizando por factor común, obtenemos:
$ x(x - 2) = 0 $
$ x = 0 $ y $ x = 2 $


4. Usamos Bolzano (con el dominio y los PCs) para hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento:
 
Evaluamos la derivada \( f'(x) \) en cada intervalo:
-> Para \( x \) en Intervalo \( (-\infty, 0) \): \( f'(-1) = \frac{(-1)^2 - 2(-1)}{((-1) - 1)^2} = \frac{1 + 2}{4} = \frac{3}{4} > 0 \). Es decir que \( f \) crece.
-> Para \( x \) en Intervalo \( (0, 1) \): \( f'(0.5) = \frac{(0.5)^2 - 2(0.5)}{(0.5 - 1)^2} = \frac{0.25 - 1}{0.25} = \frac{-0.75}{0.25} = -3 < 0 \). Es decir que \( f \) decrece.
-> Para \( x \) en Intervalo \( (1, 2) \): \( f'(1.5) = \frac{(1.5)^2 - 2(1.5)}{(1.5 - 1)^2} = \frac{2.25 - 3}{0.25} = \frac{-0.75}{0.25} = -3 < 0 \). Es decir que \( f \) decrece.
-> Para \( x \) en Intervalo \( (2, +\infty) \): \( f'(3) = \frac{3^2 - 2 \cdot 3}{(3 - 1)^2} = \frac{9 - 6}{4} = \frac{3}{4} > 0 \). Es decir que \( f \) crece.


5. Evaluamos los máximos y mínimos Los puntos \( x = 0 \) y \( x = 2 \) son puntos críticos. Analizando el cambio de signo de la derivada:
-> \( x = 0 \): Es un máximo relativo ya que \( f'(x) \) pasa de positivo a negativo.
-> \( x = 2 \): Es un mínimo relativo ya que \( f'(x) \) pasa de negativo a positivo.
Podemos hallar las coordenadas del máximo y del mínimo sustituyendo los valores de \( x \) en la función \( f(x) \):
$ f(0) = \frac{0^2}{0 - 1} = 0 $
$ f(2) = \frac{2^2}{2 - 1} = \frac{4}{1} = 4 $


6. Asíntotas
6.1. Asíntota vertical: Hay una asíntota vertical en \( x = 1 \) ya que la función no está definida en ese punto y \( f(x) \) tiende a infinito cuando \( x \) se acerca a 1.

6.2. Asíntota horizontal: 

$ \lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{x - 1} = \frac{\infty}{\infty}$

Salvamos la indeterminación y nos queda: 

$\lim_{x \to \infty} \frac{x}{1-\frac{1}{x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{x}{1} = \infty $
No hay asíntota horizontal.



Respuesta: Dominio: \( \mathbb{R} - \{1\} \) Intervalo de crecimiento: \( (-\infty, 0) \cup (2, +\infty) \) Intervalo de decrecimiento: \( (0, 1) \cup (1, 2) \) Asíntota vertical: \( x = 1 \) Máximo relativo en \( x = 0 \) con coordenada \( (0, 0) \) Mínimo relativo en \( x = 2 \) con coordenada \( (2, 4) \)



El gráfico queda así:



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Avatar Bel 6 de junio 18:06
Juli, cuando calculás el lím de x tendiendo a inf, y salvás la indeterminación, te queda como resultado x/1 eso es equivalente a infinito? No recuerdo haber visto eso antes
Avatar Julieta Profesor 8 de junio 12:42
@Bel Hola Bel! Como $x$ tiende a infinito, si a vos te queda que todo el límite tiende a x/1 (que es lo mismo que x), quiere decir que todo el límite tiende a infinito :D
Avatar Lola 3 de noviembre 22:02
Hola, no entiendo lo que pusiste en el punto 3.1 sobre que dice la derivada no esta definida donde hay que comparar ambos dominios y por alguna razon que es lo que no entiendo no hay punto criticos. No se si se entiende mi pregunta pero no comprendo porque haces eso y porque da lo que da. Gracias!
Avatar Santi 19 de noviembre 15:34
@Lola Ella lo explica en el video de estudio de funciones con la derivada, que para buscar los puntos criticos tenes que buscar los valores de x que: 1) pertenezcan al dominio de la función pero no al de la derivada. Y 2) los valores de x que hacen que al derivada valga cero.
Avatar Milagros 26 de octubre 10:18
Profe por qué queda en la derivada x^2-2x/(x-1)^2? 094 qué en el numerador quedó asi? Que paso con el dos de adelante y eso?
Avatar Julieta Profesor 30 de octubre 11:37
@Milagros Cuando simplificas el numerador, combinamos términos semejantes. El término $2x^2 - x^2$ se convierte en $ x^2$, y nos queda:

 $f'(x) = \frac{x^2 - 2x}{(x - 1)^2}$

Entonces, el dos de adelante (de $2x(x - 1)$) se aplicó y se simplificó con los términos que quedaron en el numerador. Eso es lo que pasó con el "dos de adelante".
Avatar Abigail 8 de octubre 20:41
profe, no entiendo como encontrar el dominio de distintas funciones, en polinomios se que son todos los reales, pero si tengo que derivar una funcion yo sigo sin entender como encontrar el dominio :(
Avatar Julieta Profesor 14 de octubre 16:05
@Abigail Hola Abi, simplemente buscá las restricciones de dominio que aprendimos en el video de dominio de funciones. Siempre que tengas una función donde hay:
* un denominador con x,
* o un logaritmo natural,
* o una raíz de índice par,

vas a tener que plantear la restricción y hallar el dominio de la función, ya que esta no va a ser "Todos los reales".
Avatar Lia 11 de junio 12:46
Hola profe, porque en la AH no salvamos la indeterminación?
Avatar Julieta Profesor 17 de junio 10:26
@Lia Hola Lia, ahí desarrollé más para que se entienda. :D
Avatar Mora 8 de junio 16:21
Hola profe, no entiendo lo de la asintota horizontal, no hay q salvar ninguna indeterminacion?
Avatar Julieta Profesor 17 de junio 10:26
@Mora Hola Mora, ¡Muy atenta! Ahí desarrollé más para que se entienda.
Avatar Macarena 6 de junio 18:39
En qué me baso para hacer los gráficos?
Avatar Julieta Profesor 8 de junio 07:59
@Macarena En las respuestas del ejercicio. Marca la asíntota, los máximos y mínimos. Y bueno, es un gráfico aproximado. Si querés más detalle o hacerlo más lindo podés agarrar la función y hacer una tabla de valores, reemplazando valores de x en la función y marcando esos puntos.
Avatar N 5 de junio 10:32
Porqué en Bolzano hay un intervalo de 1? Si no hay punto crítico de 1
Avatar Julieta Profesor 8 de junio 08:00
@N Porque tenés la asíntota vertical y ahí la función no existe
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